Заранее извинюсь, что не запощу код, который решит проблему, но вот что я предлагаю:
1. делаем клик на кнопку
<button type="button" class="ui-multiselect ui-widget ui-state-default ui-corner-all partner-filter partner-region-filter ui-state-active" aria-haspopup="true" style="width: 210px;">
2. Ждем пока вот этот элемент не становится видимым:
<div class="ui-multiselect-menu ui-widget ui-widget-content ui-corner-all partner-filter partner-region-filter ui-multiselect-single" style="width: 217px; top: 317px; left: 201px; display: block;">
по умолчанию он имеет стиль display: none;
<div class="ui-multiselect-menu ui-widget ui-widget-content ui-corner-all partner-filter partner-region-filter ui-multiselect-single" style="width: 217px; top: 317px; left: 201px; display: none;">
3. Кликаем на необходимый элемент из списка (Брянская обл.):
<input id="ui-multiselect-f-region-option-3" name="multiselect_f-region" type="radio" value="8" title="">