Мы его тестировали следующим образом - написаные тесткейсы(ужасные - по причине отвратительной спецификации) мы использовали для smoke теста, а

Выглядит немного странно. Может быть, лучше написать нормальные тесткейсы для smoke теста? Эти сценарии выволняются чаще всего и они должны быть хорошими. То что, они не будут базироваться на спецификации - это проблема спецификации.
Сейчас начинает разрабатываться новая часть проекта, только что мне дали требования и я не знаю что с ними делать
Проект менеджер вообще не общался с нами по проекту, изредка через письма, а сейчас вообще укатил в отпуск. Требования опять ужасные: с ошибками, неполные, двусмысленные.

Такое управление дурно пахнет. Обычно такая ситуация имеет место в двух случаях: плохой управленец [1] или организация желает завалить проект [2].
Я вот думаю, то ли исправить спецификацию, написать список вопросов и отправить заказчику, а потом уже писать тесткейсы; то ли написать кейсы для этого кривого документа, а менеджер проекта пусть сам со всем разбирается, если руки дойдут? А еще, является ли необходимым тестировать только по тесткейсам, если проект не очень большой?

Исправлять спецификацию - не ваша задача.
Отправлять заказчику - тем более. Не прыгайте через голову.
то ли написать кейсы для этого кривого документа, а менеджер проекта пусть сам со всем разбирается, если руки дойдут?

И что вы будете в этом случае тестировать? Погоду на луне?
А еще, является ли необходимым тестировать только по тесткейсам, если проект не очень большой?

Тесткейсы необязательны. И тестирование необязательно. В некоторых методологиях.
-----------------------------------
[1] "Управленец" - обобщенный термин включающий в себя все роли, связанные с управлением людьми. Термин взят из "Основ методологии" Анисимова. Подобные же обобщеные термины используются в ТРИЗе.
В данном контексте именно "Управленец", а не, скажем, "ПМ".
[2] Довольно частая ситуация. Заваливать собственные проекты вынужден даже Микрософт. В этом случае создается режим "наибольшего благоприятствования" для завала. Силами отдельных энтузиастов спасти проект невозможно.