Проблема решена. Возможно, кому-то понадобится.
Перед тем, как добавлять заголовок, его нужно удалить, то есть:
server.addRequestFilter((request, contents, messageInfo) -> { request.headers().remove("User-Agent"); request.headers().add("User-Agent", "Mozilla/5.0 (Linux; Android 10; SM-A205U) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/87.0.4280.66 Mobile Safari/537.36."); return null; });
Устанавливать его можно в любой момент, когда это требуется по коду. То есть, это следует вынести в функцию и передавать ей параметр в виде того же Map`a.